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    Lehrstuhl für Mathematik VIII - Statistik

    Forschungsthema: Unternehmensbewertung bei Kapitalverflechtungen

    Beschreibung der Voraussetzungen

    Gegeben ist ein Finanzsystem, welches aus mehreren Finanzeinheiten, genannt Unternehmen oder Firmen, besteht. Die Unternehmen besitzen Guthaben in Form von Asset-Werten, zusammengefasst im Assetvektor a, und Verbindlichkeiten, deren Nominalwerte im Vektor d zusammengefasst sind. Außerdem sind auch Kapitalverflechtungen zwischen den Unternehmen zugelassen. Was dies bedeutet, ist hier anhand eines Beispielssystems beschrieben, welches wir für die nachfolgenden Überlegungen verwenden.

    Die Frage, die sich nun stellt ist, welchen Wert die Unternehmen besitzen? Sind Sie solvent, d.h. können sie ihre Schulden voll zahlen oder sind sie insolvent, d.h. übersteigt ihre Schuldenlast ihr Einkommen? Im Fall einer Insolvenz interessiert man sich für die Frage, wie hoch der Anteil der zu leistenden Zahlungen im Vergleich zum Nominalwert der Schulden ist (recovery rate).

    Der klassische Lösungsansatz

    Der "klassische" Weg, den Wert der Unternehmen zu bestimmen, basiert auf den Überlegungen von Merton (1974). Sei r der Vektor der Schuldenzahlungen und s der Wert der Unternehmen, dann folgt nach Merton:

    r = min{d, a} = (400, 500, 150)t
    s = min{a - d, 0} = (a - d)+ = (600, 0, 0)t

    Die erste Firma ist also solvent mit einem Unternehmenswert von 600 GE, die beiden anderen Unternehmen sind insolvent mit einer recovery rate von 67% bzw. 50%. Nachteil bei diesem Ansatz ist, dass die Kapitalverflechtungen unberücksichtigt bleiben.

    Der Lösungsansatz mit Kapitalverflechtung

    Unter Berücksichtigung der obigen Verflechtungen, ergeben sich folgende Formeln für  r und s:

    r = min{d, a + Mdr + Mss} = (400, 750, 300)t
    s = (a + Mdr + Mss - d)+ = (600, 135, 80)t

    Berücksichtigt man also die zusätzlichen Informationen, die sich aus der Kapitalverflechtung ergeben, sind nun auch die beiden Firmen 2 und 3 solvent. Für mehr Details zu diesem Vorgehen, siehe z.B. Fischer (2014).

    Man erkennt sofort, dass es sich bei obiger Formel nicht mehr um eine explizite Darstellung handelt, was die Berechnung der Lösung erschwert. Zudem gibt es Finanzsysteme, bei denen mehrere Vektoren existieren können, die eine Lösung des Systems wie oben darstellen.

    Forschungsfragen

    Wir beschäftigen uns mit folgenden Fragen im Zusammenhang mit den geschilderten Problemen:

    • Unter welchen Bedingungen existieren überhaupt Lösungen eines Finanzsystems? Wann existieren mehrere, wann nur genau eine Lösung des Systems?
      Siehe hierzu Fischer (2012, 2014) oder auch Suzuki (2002) und Elsinger (2009)
    • Wie viele verschiedene Berechnungsarten gibt es zur Bestimmung von Lösungen solcher Systeme?
      Siehe hierzu Hain & Fischer (2014)
    • Wie können die Lösungen solcher Systeme zu praktischen Zwecken möglichst schnell gefunden werden?
      Siehe hierzu Hain (2014)

    Kaptialverflechtung in der Praxis

    Das Problem der Unternehmensbewertung existiert auch in "echten" Finanzsystemen. Nachfolgendes Diagramm verdeutlicht die Kapitalverflechtungen deutscher DAX-Unternehmen. (Quelle: www.mpifg.de/aktuelles/themen/doks/Deutschland_AG_1996bis2010.pdf)

     

     

    Auch Staaten können sich untereinander Geld schulden, hier ein Beispiel für Schuldenverflechtungen innerhalb der EU. (Quelle: www.nytimes.com/interactive/2010/05/02/weekinreview/02marsh.html)

    Literatur

    • Elsinger, H. (2009). Financial networks, cross holdings, and limited liability. Oesterreichische Nationalbank.
    • Fischer, T. (2014). No‐Arbitrage Pricing Under Systemic Risk: Accounting for Cross‐Ownership. Mathematical Finance, 24(1), 97-124.
    • Fischer, T. (2012). Risk-neutral valuation in financial networks: the structural approach for derivatives, debt and equity. Working paper.
    • Hain, J. (2014). Pricing under Systemic Risk - Optimizing the Picard Iteration in Cross-Ownership Systems. Working Paper.
    • Hain, J. and Fischer, T. (2014). Valuation Algorithms for Structural Models of Systemic Risk. Working Paper. 
    • Merton, R. C. (1974). On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates. The Journal of Finance, 29(2), 449-470.
    • Suzuki, T. (2002). Valuing corporate debt: The effect of cross-holdings of stock and debt. Journal of the Operations Research Society of Japan-Keiei Kagaku, 45(2), 123-144.
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